Piccolo intermezzo matematico. Nel dormiveglia, in autobus per Krabi, mi trovavo a pensare al fatto che le prime terne pitagoriche (TP) sono 3,4,5 e 5,12,13, e al fatto che in ambedue i casi l'ipotenusa e' superiore ad uno dei cateti di una sola unita'.

Pensando alla cosa, ho trovato il modo per dimostrare che le TP di questo tipo sono infinite, e che si possono costruire TP ove un cateto e' qualsiasi numero dispari. Sicuramente e' un risultato noto, non posso credere che sia sfuggito, comunque io non lo conoscevo, e mi pare carino.

La caratteristica di queste TP a,b,h in fatti e' quella di avere h=b+1, da cui:
a^2+b^2=h^2
a^2=(b+1)^2-b^2
a^2=2b+1
quindi, per ogni a dispari e' facile trovare b (e h, che non e' altro che b+1). In pratica il secondo cateto e' sempre
b=(a^2-1)/2
ed e' facile vedere che lui e' sempre pari (basta pensare al fatto che a e' della forma 2n+1), e di conseguenza l'ipotenusa sempre dispari. Questo tra l'altro consente di costruire una catena di TP, ove l'ipotenusa di una TP diventa il cateto generatore della successiva.

Osservo che questa soluzione vale per tutti gli a dispari, quindi anche per tutti i numeri primi maggiori di 2. Se a=1, si ottiene la TP degenere 1,0,1 ma i successivi sono tutti buoni: 3,4,5 5,12,13 7,24,25 9,40,41 eccetera, ed e' facile trovarne di enormi, come: 1001,501000,5001001.

Tra l'altro, questo teorema mi ha consentito finalmente di dimostrare la congettura di Goldbach, ma purtroppo lo spazio esiguo di questo blog non mi consente di riportare tutta la dimostrazione.